Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função
quando
tende ao infinito positivo (
) e ao infinito negativo (
). A matéria envolvida aqui é o estudo de limites de funções polinomiais no infinito. Vamos precisar entender como os termos de maior grau em polinômios influenciam o comportamento da função quando
cresce muito, seja positivamente ou negativamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma função polinomial, o termo de maior grau (aquele com a potência mais alta de
) domina o comportamento da função quando
tende ao infinito. Ou seja, conforme
aumenta ou diminui muito, os outros termos se tornam relativamente pequenos e quase não influenciam o valor da função.
Passo 3
Vamos identificar o termo de maior grau na nossa função
. Observando, temos:
O termo com a maior potência de
é
. Esse será o termo que vai determinar o comportamento da função nos limites que estamos calculando.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
. Considerando apenas o termo dominante
, temos:
Como
está indo para
e o coeficiente de
é negativo (
), isso significa que conforme
cresce, o valor de
vai ficando cada vez mais negativo, indo para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
. Novamente, considerando o termo dominante
:
Aqui,
está indo para valores negativos muito grandes. Como a potência
é ímpar,
também será negativo (porque um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo). Multiplicando por
(que é negativo), temos:
Portanto,
tende a
quando
tende a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
c)
c)
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
b)
b)
Um fabricante modelou sua função
da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
onde
é o número de horas trabalhadas (em milhares) e
é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre
e interprete-o.
Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica