Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função quando tende ao infinito positivo ( ) e ao infinito negativo ( ). A matéria envolvida aqui é o estudo de limites de funções polinomiais no infinito. Vamos precisar entender como os termos de maior grau em polinômios influenciam o comportamento da função quando cresce muito, seja positivamente ou negativamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma função polinomial, o termo de maior grau (aquele com a potência mais alta de ) domina o comportamento da função quando tende ao infinito. Ou seja, conforme aumenta ou diminui muito, os outros termos se tornam relativamente pequenos e quase não influenciam o valor da função.

Passo 3

Vamos identificar o termo de maior grau na nossa função . Observando, temos:
O termo com a maior potência de é . Esse será o termo que vai determinar o comportamento da função nos limites que estamos calculando.

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando . Considerando apenas o termo dominante , temos:
Como está indo para e o coeficiente de é negativo ( ), isso significa que conforme cresce, o valor de vai ficando cada vez mais negativo, indo para .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando . Novamente, considerando o termo dominante :
Aqui, está indo para valores negativos muito grandes. Como a potência é ímpar, também será negativo (porque um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo). Multiplicando por (que é negativo), temos:
Portanto, tende a quando tende a .

Resposta

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Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
c)
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
b)
Um fabricante modelou sua função da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
onde é o número de horas trabalhadas (em milhares) e é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre e interprete-o.
Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica