Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função de produção de Cobb-Douglas. Basicamente, a questão quer saber se, ao duplicarmos as quantidades de trabalho (L) e capital (K) investidos, a produção também dobra. Vamos precisar entender como funciona a função de produção de Cobb-Douglas e aplicar alguns conceitos de escalabilidade para ver se isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função de produção específica que foi dada:
Aqui,
é o trabalho,
é o capital, e os expoentes
e
indicam a elasticidade da produção em relação a cada um desses insumos.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece se duplicarmos
e
. Ou seja, substituímos
por
e
por
na função:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, aplicamos as potências:
Então, substituindo de volta na função:
Passo 5
Agora, podemos combinar os termos com a base 2:
Então, a função fica:
Passo 6
Comparando com a função original
, vemos que:
Como
é aproximadamente
, que é quase
, a produção quase dobra quando duplicamos
e
.
Passo 7
Agora, vamos generalizar para uma função genérica de Cobb-Douglas:
Ao duplicar
e
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, para a função de produção genérica
, ao duplicar
e
, a produção será multiplicada por
. Se
, então a produção dobra exatamente. No caso da função específica dada, calculamos que a produção quase dobra, pois
.