Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
P(L, K) = 1,01 L^0,73 K^0,25
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
P(L, K) = b L^a K^(1-alpha)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função de produção de Cobb-Douglas. Basicamente, a questão quer saber se, ao duplicarmos as quantidades de trabalho (L) e capital (K) investidos, a produção também dobra. Vamos precisar entender como funciona a função de produção de Cobb-Douglas e aplicar alguns conceitos de escalabilidade para ver se isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função de produção específica que foi dada:
Aqui, é o trabalho, é o capital, e os expoentes e indicam a elasticidade da produção em relação a cada um desses insumos.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece se duplicarmos e . Ou seja, substituímos por e por na função:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, aplicamos as potências:
Então, substituindo de volta na função:

Passo 5

Agora, podemos combinar os termos com a base 2:
Então, a função fica:

Passo 6

Comparando com a função original , vemos que:
Como é aproximadamente , que é quase , a produção quase dobra quando duplicamos e .

Passo 7

Agora, vamos generalizar para uma função genérica de Cobb-Douglas:
Ao duplicar e :
Simplificando:

Resposta

Portanto, para a função de produção genérica , ao duplicar e , a produção será multiplicada por . Se , então a produção dobra exatamente. No caso da função específica dada, calculamos que a produção quase dobra, pois .

Exercícios relacionados