Calcule o limite de h ( x ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 e x − 1 − 1 , p a r a x ≤ 1 8 , p a r a x = 1 2 + l n x , p a r a x > 1 , para quando x tende a 1 através do conceito dos limites laterais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função $ h(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1, usando os limites laterais. A matéria envolvida aqui é o conceito de limites, especialmente os limites laterais em funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos de 1 pela esquerda e pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ h(x) $ que está definida de forma diferente para valores de $ x $ menores ou iguais a 1, exatamente igual a 1, e maiores que 1. A função é dada por:
Queremos encontrar o limite de $ h(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. Para isso, vamos calcular o limite pela esquerda ($ x \to 1^- x x \to 1^+ $).
Passo 3
Vamos começar calculando o limite pela esquerda, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1 ($ x \to 1^- x x \leq 1 $), a função é $ h(x) = 3 e^{x - 1} - 1 $.
Substituindo $ x $ por 1:
x to 1^-
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1 ($ x \to 1^+ x x > 1 $), a função é $ h(x) = 2 + \ln x $.
Substituindo $ x $ por 1:
x to 1^+
Passo 5
Com os dois limites laterais calculados, podemos comparar:
limx to 1^- h(x) = 2
limx to 1^+ h(x) = 2
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral de $ h(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 existe e é igual a esse valor comum.
Resposta
O limite de $ h(x) $ quando $ x $ tende a 1 é igual a 2.