Sejam os vetores → u ( 2 , a , − 1 , 3 ) , → v ( 1 , 4 , a b , c ) e → w ( − 1 , 2 , 1 , − 4 ) . Sabe-se que 2 → u − → v 3 → w é igual ao vetor nulo. Determine o valor de (6 a b c).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra envolvendo vetores. Temos três vetores
,
e
com componentes que incluem incógnitas
,
e
. A equação dada é
, onde
é o vetor nulo. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
e, em seguida, calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Quando somamos vetores, fazemos a operação componente a componente. Então, a equação
implica que cada componente resultante da soma deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
Multiplicando o vetor
por 2: -
Multiplicando o vetor
por -1: -
Multiplicando o vetor
por 3:
Passo 4
Agora, somamos os três vetores resultantes componente a componente:
Como essa soma deve ser igual ao vetor nulo
, podemos igualar cada componente a zero.
Passo 5
Vamos obter as equações:
- Primeira componente:
(já satisfazida). - Segunda componente:
- Terceira componente:
- Quarta componente:
Passo 6
Resolvendo as equações:
-
Da segunda equação:
-
Substituindo
na terceira equação: -
Resolvendo a quarta equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos calcular
: