Sejam os vetores → u ( 2 , a , − 1 , 3 ) , → v ( 1 , 4 , a b , c ) e → w ( − 1 , 2 , 1 , − 4 ) . Sabe-se que 2 → u − → v 3 → w é igual ao vetor nulo. Determine o valor de (6 a b c).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra envolvendo vetores. Temos três vetores u, v e w com componentes que incluem incógnitas a, b e c. A equação dada é 2u - v + 3w = 0, onde 0 é o vetor nulo. Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c e, em seguida, calcular 6abc.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Quando somamos vetores, fazemos a operação componente a componente. Então, a equação 2u - v + 3w = 0 implica que cada componente resultante da soma deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Multiplicando o vetor u por 2:
    2u = 2 times (2, a, -1, 3) = (4, 2a, -2, 6)
  • Multiplicando o vetor v por -1:
    -v = -1 times (1, 4, ab, c) = (-1, -4, -ab, -c)
  • Multiplicando o vetor w por 3:
    3w = 3 times (-1, 2, 1, -4) = (-3, 6, 3, -12)

Passo 4

Agora, somamos os três vetores resultantes componente a componente:
2u - v + 3w = (4, 2a, -2, 6) + (-1, -4, -ab, -c) + (-3, 6, 3, -12)
= (4 - 1 - 3, 2a - 4 + 6, -2 - ab + 3, 6 - c - 12)
= (0, 2a + 2, 1 - ab, -c - 6)
Como essa soma deve ser igual ao vetor nulo (0, 0, 0, 0), podemos igualar cada componente a zero.

Passo 5

Vamos obter as equações:
  1. Primeira componente: 0 = 0 (já satisfazida).
  2. Segunda componente: 2a + 2 = 0
  3. Terceira componente: 1 - ab = 0
  4. Quarta componente: -c - 6 = 0

Passo 6

Resolvendo as equações:
  1. Da segunda equação:
    2a + 2 = 0 implies 2a = -2 implies a = -1
  2. Substituindo a = -1 na terceira equação:
    1 - (-1)b = 0 implies 1 + b = 0 implies b = -1
  3. Resolvendo a quarta equação:
    -c - 6 = 0 implies -c = 6 implies c = -6

Passo 7

Agora que temos os valores de a, b e c, podemos calcular 6abc:
6abc = 6 times (-1) times (-1) times (-6) = 6 times 1 times (-6) = -36

Resposta

6abc = -36

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