Calcule o limite, justificando cada passagem (40 pontos):
a)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 da função . Para isso, vamos usar conceitos de limite e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim mesmo:
Obtemos uma indeterminação do tipo , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para identificar e cancelar possíveis fatores comuns. Começamos fatorando o numerador .
Vamos tentar encontrar uma raiz dessa expressão substituindo valores possíveis. Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando o método de fatoração, obtemos:
Agora, vamos fatorar :
Então, o numerador fatorado é:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador :

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original:
Perceba que o fator está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar:

Passo 6

Agora, a expressão está simplificada e não apresenta mais a indeterminação . Podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro tais que esta função seja contínua em todo .
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
b)
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
a)