Calcule o limite, justificando cada passagem (40 pontos):
a) lim x 3 x^3-2 x^2-5 x+6x^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 da função . Para isso, vamos usar conceitos de limite e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 3^3 - 2 cdot 3^2 - 5 cdot 3 + 63^2 - 2 cdot 3 - 3 = 27 - 18 - 15 + 69 - 6 - 3 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim mesmo:
Obtemos uma indeterminação do tipo , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para identificar e cancelar possíveis fatores comuns. Começamos fatorando o numerador 1^3 - 2 cdot 1^2 - 5 cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 .
Vamos tentar encontrar uma raiz dessa expressão substituindo valores possíveis. Testando x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) :
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Então, x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2) é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando o método de fatoração, obtemos:
Agora, vamos fatorar :
Então, o numerador fatorado é:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) :

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original:
(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x - 3)(x + 1)
Perceba que o fator (x - 1)cancel(x - 3)(x + 2)cancel(x - 3)(x + 1) = (x - 1)(x + 2)x + 1 está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar:

Passo 6

Agora, a expressão está simplificada e não apresenta mais a indeterminação (3 - 1)(3 + 2)3 + 1 = 2 cdot 54 = 104 = 52 . Podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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