Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas verticais e horizontais da função e, com base nisso, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e horizontais e como identificá-las em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se essas soluções realmente correspondem a assíntotas verticais. Para isso, precisamos ver o comportamento da função nesses pontos.
Para :
Então, tanto o numerador quanto o denominador são zero. Isso indica que pode haver uma forma indeterminada, e talvez não seja uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível (ou buraco) no gráfico.
Para :
Aqui, o numerador não é zero enquanto o denominador é zero. Portanto, existe uma verdadeira assíntota vertical em .
Passo 4
Agora, vamos buscar as assíntotas horizontais. Essas são encontradas observando o comportamento da função quando tende para ou .
Analisando os termos:
O numerador é uma função que oscila entre -1 e 1.
O denominador cresce sem limites conforme aumenta ou diminui.
Quando o denominador cresce muito, o valor da função tende para zero, pois o numerador fica limitado. Assim, a assíntota horizontal é:
Passo 5
Resumindo:
Assíntota vertical em .
Assíntota horizontal em .
Em , há um ponto removível, pois a função não tem uma assíntota vertical nesse ponto.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Além disso, há um ponto removível em . Com base nisso, podemos esboçar o gráfico da função considerando esses comportamentos.