Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas verticais e horizontais da função e, com base nisso, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e horizontais e como identificá-las em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas soluções realmente correspondem a assíntotas verticais. Para isso, precisamos ver o comportamento da função nesses pontos.
  • Para :
    Então, tanto o numerador quanto o denominador são zero. Isso indica que pode haver uma forma indeterminada, e talvez não seja uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível (ou buraco) no gráfico.
  • Para :
    Aqui, o numerador não é zero enquanto o denominador é zero. Portanto, existe uma verdadeira assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos buscar as assíntotas horizontais. Essas são encontradas observando o comportamento da função quando tende para ou .
Analisando os termos:
  • O numerador é uma função que oscila entre -1 e 1.
  • O denominador cresce sem limites conforme aumenta ou diminui.
Quando o denominador cresce muito, o valor da função tende para zero, pois o numerador fica limitado. Assim, a assíntota horizontal é:

Passo 5

Resumindo:
  • Assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal em .
  • Em , há um ponto removível, pois a função não tem uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Além disso, há um ponto removível em . Com base nisso, podemos esboçar o gráfico da função considerando esses comportamentos.

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Calcule o limite, justificando cada passagem (40 pontos):
a)
Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro tais que esta função seja contínua em todo .
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
a)
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
c)
Dados: