Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as assíntotas verticais e horizontais da função . Vamos usar conceitos de funções racionais e entender onde a função pode ter assíntotas, tanto verticais quanto horizontais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e analisar os comportamentos da função quando tende ao infinito e onde o denominador é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a identificação das assíntotas. Observe que o denominador pode ser fatorado:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver :
Vamos verificar se o numerador é zero nesses pontos:
ãáí
ãáí
ãáí
Portanto, temos assíntotas verticais em , e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende a infinito ( ). Observamos os graus do polinômio no numerador e denominador.
O numerador tem grau 4 ( ) e o denominador tem grau 4 ( ) também, já que . Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
No numerador, o coeficiente de é 1.
No denominador, o coeficiente de é -1 (do termo ).
Então, a assíntota horizontal é:

Passo 5

Finalmente, vamos resumir tudo. Encontramos que a função tem três assíntotas verticais em , e , e uma assíntota horizontal em . Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função sabendo onde a função se aproxima dessas linhas sem nunca tocá-las.

Resposta

A função possui assíntotas verticais em , e , e uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
b)
Calcule o limite, justificando cada passagem (40 pontos):
a)
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
c)
Dados:
Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):