Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as assíntotas verticais e horizontais da função
. Vamos usar conceitos de funções racionais e entender onde a função pode ter assíntotas, tanto verticais quanto horizontais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e analisar os comportamentos da função quando
tende ao infinito e onde o denominador é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a identificação das assíntotas. Observe que o denominador
pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver
:
Vamos verificar se o numerador é zero nesses pontos:
Portanto, temos assíntotas verticais em
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende a infinito (
). Observamos os graus do polinômio no numerador e denominador.
O numerador tem grau 4 (
) e o denominador tem grau 4 (
) também, já que
. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
No numerador, o coeficiente de
é 1.
No denominador, o coeficiente de é -1 (do termo
).
No denominador, o coeficiente de
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 5
Finalmente, vamos resumir tudo. Encontramos que a função tem três assíntotas verticais em
,
e
, e uma assíntota horizontal em
. Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função sabendo onde a função se aproxima dessas linhas sem nunca tocá-las.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
,
e
, e uma assíntota horizontal em
.
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Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
b)
b)
Calcule o limite, justificando cada passagem (40 pontos):
a)
a)
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
c)
Dados:
c)
Dados:
Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):