Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. $\lim _{t \rightarrow 2} \frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4}$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: $\lim _{t \rightarrow 2} \frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4}$. Esse exercício está na matéria de Cálculo, especificamente sobre **limites de funções racionais**. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos limites, como a **substituição direta** e a **simplificação de expressões** através de **fatoração**. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o valor de $t = 2$ na função para ver o que acontece: $$ \frac{(2)^{2} + 2 - 6}{(2)^{2} - 4} = \frac{4 + 2 - 6}{4 - 4} = \frac{0}{0} $$ A gente se depara com uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. **Numerador:** $t^{2} + t - 6$ Procuramos dois números que multiplicados dão $-6$ e somados dão $1$. Esses números são $3$ e $-2$. Então, o numerador fatorado fica: $$ t^{2} + t - 6 = (t + 3)(t - 2) $$ **Denominador:** $t^{2} - 4$ Esse é um caso de **diferença de quadrados**, que é fatorado assim: $$ t^{2} - 4 = (t + 2)(t - 2) $$

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original: $$ \frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4} = \frac{(t + 3)(t - 2)}{(t + 2)(t - 2)} $$ Perceba que temos $(t - 2)$ no numerador e no denominador, então podemos **cancelar** esses termos, desde que $t \neq 2$ (o que é válido para o limite). Assim, a expressão simplificada fica: $$ \frac{t + 3}{t + 2} $$

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo $t$ por $2$ na expressão simplificada: $$ \lim _{t \rightarrow 2} \frac{t + 3}{t + 2} = \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4} $$

Resposta

O limite é $\frac{5}{4}$.

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