Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
ii)
ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e as possíveis raízes da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e como encontrar os valores de
que tornam a função válida e onde ela pode ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica
é o conjunto de todos os valores de
para os quais o argumento
é positivo, ou seja,
. Então, no nosso caso, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem:
Passo 3
Para resolver a inequação
, vamos encontrar as raízes do polinômio
. As raízes são os valores de
onde a função cruza o eixo
. Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as possíveis raízes são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder.
No nosso caso, as possíveis raízes são
. Vamos testar:
- Para
:
- Para
:
Achamos uma raiz:
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é uma raiz, podemos fatorar o polinômio:
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes do polinômio são
,
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos analisar os intervalos onde
. Os intervalos são divididos pelas raízes:
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver onde a expressão é positiva:
- Para
(intervalo 1):
- Para
(intervalo 2):
- Para
(intervalo 3):
- Para
(intervalo 4):
Então, a expressão é positiva nos intervalos
.
Passo 6
Agora, vamos determinar as possíveis raízes da função
. Isso significa encontrar os valores de
onde
:
Sabemos que
quando
. Então:
Passo 7
Vamos resolver a equação
. Novamente, usamos o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são
.
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Não encontramos raízes racionais, ent��o as raízes reais devem ser encontradas por métodos numéricos ou gráficos. Sabemos que uma função cúbica sempre tem pelo menos uma raiz real, então existe pelo menos uma solução real para essa equação.
Resposta
O domínio da função
é
. As possíveis raízes da função são os valores de
que satisfazem
, os quais requerem métodos numéricos para serem encontrados, já que não existem raízes racionais.
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Exercício 64. Determine o dominio para as funções:
vi) .
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Exercício 65. Determine o dominio
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vii)
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iii)
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