Exercício 64. Determine o dominio para as funções:
vi) f(x) = ln(x^2 - 2x + 3) - log(x^3 - 8)(x^2 + 1).

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função:
Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas e naturais, então precisamos entender as condições para que essas funções estejam definidas. Vamos precisar usar os conceitos de domínio das funções logarítmicas e das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo . A função logarítmica natural, , está definida quando o argumento u é maior que zero. Portanto, temos a condição:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: . Para que este logaritmo esteja definido, três condições devem ser satisfeitas:
  1. A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1:

    e
  2. O argumento do logaritmo deve ser positivo:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas condições:
  1. Para a base do logaritmo:
    E
  2. Para o argumento do logaritmo:
    Como x^2 é sempre não negativo, é sempre maior que zero para qualquer número real x. Portanto, essa condição é sempre satisfeita e não impõe restrições adicionais.

Passo 5

Agora, vamos voltar à primeira condição que obtivemos:
Vamos verificar se essa inequação é sempre verdadeira. Calculando o discriminante da equação quadrática :
Como o discriminante é negativo ( ), a inequação é verdadeira para todos os números reais x. Portanto, essa condição não restringe o domínio da função.

Passo 6

Resumindo as condições encontradas:
  1. x > 2
Essas são as únicas restrições que determinam o domínio da função f(x).

Resposta

O domínio da função é todos os números reais maiores que 2, exceto . Em notação matemática:

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