Exercício 64. Determine o dominio para as funções:
vi) .
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função:
Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas e naturais, então precisamos entender as condições para que essas funções estejam definidas. Vamos precisar usar os conceitos de domínio das funções logarítmicas e das propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo . A função logarítmica natural, , está definida quando o argumento é maior que zero. Portanto, temos a condição:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função: . Para que este logaritmo esteja definido, três condições devem ser satisfeitas:
A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1:
e
O argumento do logaritmo deve ser positivo:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas condições:
Para a base do logaritmo:
E
Para o argumento do logaritmo:
Como é sempre não negativo, é sempre maior que zero para qualquer número real . Portanto, essa condição é sempre satisfeita e não impõe restrições adicionais.
Passo 5
Agora, vamos voltar à primeira condição que obtivemos:
Vamos verificar se essa inequação é sempre verdadeira. Calculando o discriminante da equação quadrática :
Como o discriminante é negativo (), a inequação é verdadeira para todos os números reais . Portanto, essa condição não restringe o domínio da função.
Passo 6
Resumindo as condições encontradas:
Essas são as únicas restrições que determinam o domínio da função .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais maiores que 2, exceto . Em notação matemática: