Exercício 65. Determine o dominio as possiveis raizes para as funções.
vii)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e as possíveis raízes da função . Para isso, vamos precisar entender sobre funções logarítmicas e exponenciais, além de resolver equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Olhando a expressão , sabemos que o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação quadrática.

Passo 3

Para resolver , primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são:
Então:

Passo 4

Agora, analisamos o sinal da inequação nos intervalos determinados pelas raízes e :
  1. Para : Vamos testar :
    Verdadeiro.
  2. Para : Vamos testar :
    Falso.
  3. Para : Vamos testar :
    Verdadeiro.
Então, o domínio da função é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de para os quais :
Sabemos que quando . Assim:
Então, as soluções são:

Passo 6

Precisamos verificar se essas soluções estão dentro do domínio que encontramos:
  • Para :
    í
  • Para :
    í

Resposta

O domínio da função é ou . Além disso, a função não possui raízes dentro desse domínio.

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