Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim t 0 raiz2-t-raiz2t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o limite . Esse tipo de questão está relacionado ao estudo de Limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades dos limites e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que substituindo diretamente, teríamos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o valor do limite. Uma técnica útil nesse caso é racionalizar o numerador.

Passo 3

Para racionalizar o numerador, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz2-t-raiz2t times raiz2-t+raiz2raiz2-t+raiz2 = (raiz2-t)^2 - (raiz2)^2t(raiz2-t+raiz2) é . Assim, temos:

Passo 4

Simplificando o numerador:
(raiz2-t)^2 = 2 - t e (raiz2)^2 = 2
Então, a expressão fica:
2 - t - 2t(raiz2-t+raiz2) = -tt(raiz2-t+raiz2)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o -tt(raiz2-t+raiz2) = -1raiz2-t+raiz2 do numerador e do denominador:

Passo 6

Agora, substituímos -1raiz2-0+raiz2 = -1raiz2+raiz2 = -12raiz2 na expressão simplificada:

Resposta

Portanto, o limite é .

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