Exercício 65. Determine o dominio as possiveis raizes para as funções.
iii)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e as possíveis raízes da função . Isso envolve entender sobre logaritmos e funções exponenciais, e saber que, para o logaritmo estar definido, o que está dentro dele precisa ser positivo. Além disso, vamos precisar resolver algumas equações para achar as raízes da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica é o conjunto de valores de para os quais o argumento do logaritmo é positivo. Ou seja, precisamos que:

Passo 3

Para resolver essa desigualdade, vamos simplificar a expressão. Observe que . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Se , então a desigualdade fica:

Passo 4

Agora, temos uma inequação quadrática em . Para resolver , primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e . Como é sempre positivo, descartamos porque é negativo.

Passo 5

Agora, sabemos que a parábola é positiva fora das raízes. Como , temos que a desigualdade será satisfeita para .
Ou seja:

Passo 6

Como é aproximadamente 0,732, e é sempre positivo, a desigualdade acima é sempre verdadeira para qualquer , já que cresce para valores maiores à medida que aumenta.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais:
í

Passo 7

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de para os quais . Isso significa que:
Lembrando que se e somente se . Então:

Passo 8

Vamos resolver a equação:
Substituindo , a equação fica:
Resolvendo com Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como , descartamos .

Passo 9

Agora, temos , ou seja:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ) e a única raiz é .

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