Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
iii)
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Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e as possíveis raízes da função
. Isso envolve entender sobre logaritmos e funções exponenciais, e saber que, para o logaritmo estar definido, o que está dentro dele precisa ser positivo. Além disso, vamos precisar resolver algumas equações para achar as raízes da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica é o conjunto de valores de
para os quais o argumento do logaritmo é positivo. Ou seja, precisamos que:
Passo 3
Para resolver essa desigualdade, vamos simplificar a expressão. Observe que
. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Se
, então a desigualdade fica:
Passo 4
Agora, temos uma inequação quadrática em
. Para resolver
, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
. Como
é sempre positivo, descartamos
porque é negativo.
Passo 5
Agora, sabemos que a parábola
é positiva fora das raízes. Como
, temos que a desigualdade
será satisfeita para
.
Ou seja:
Passo 6
Como
é aproximadamente 0,732, e
é sempre positivo, a desigualdade acima é sempre verdadeira para qualquer
, já que
cresce para valores maiores à medida que
aumenta.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
para os quais
. Isso significa que:
Lembrando que
se e somente se
. Então:
Passo 8
Vamos resolver a equação:
Substituindo
, a equação fica:
Resolvendo com Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como
, descartamos
.
Passo 9
Agora, temos
, ou seja:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Resposta
O domínio da função é todos os números reais (
) e a única raiz é
.
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Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.