Exercício 65. Determine o dominio as possiveis raizes para as funções.
ix)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e as possíveis raízes da função . Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e exponenciais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Nesse caso, temos um logaritmo dentro da função, então o argumento do logaritmo deve ser maior que zero:

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação e analisar os intervalos.

Passo 4

Tentando encontrar uma raiz racional pela regra das possíveis raízes, testamos alguns valores e descobrimos que é uma raiz, porque:

Passo 5

Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para fatorar o polinômio usando :

Passo 6

Agora, resolvemos . O discriminante dessa equação é:
Como , temos uma raiz dupla:

Passo 7

Então, as raízes da equação são e (com multiplicidade 2). Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para saber onde a expressão é positiva.

Passo 8

Dividindo a linha dos números com as raízes e , temos três intervalos:
Vamos testar um número em cada intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Observamos que a expressão é positiva somente para . Portanto, o domínio da função é:
í

Passo 10

Agora, vamos encontrar as possíveis raízes da função . Para isso, queremos resolver :

Passo 11

Simplificando a expressão exponencial com logaritmo de base 10, sabemos que . Aplicando isso:

Passo 12

Vamos resolver a equação . Testando possíveis raízes racionais, vemos que é uma raiz porque:

Passo 13

Fazendo a divisão polinomial ou fatorando, temos:

Passo 14

Resolvendo , encontramos:

Passo 15

Portanto, as raízes da equação são:

Resposta

O domínio da função é e as possíveis raízes são , e .

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