Exercício 65. Determine o dominio
as possiveis raizes para as funções.
ix)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e as possíveis raízes da função
. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e exponenciais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nesse caso, temos um logaritmo dentro da função, então o argumento do logaritmo deve ser maior que zero:
Passo 3
Vamos resolver a inequação
. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação
e analisar os intervalos.
Passo 4
Tentando encontrar uma raiz racional pela regra das possíveis raízes, testamos alguns valores e descobrimos que
é uma raiz, porque:
Passo 5
Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para fatorar o polinômio usando
:
Passo 6
Agora, resolvemos
. O discriminante dessa equação é:
Como
, temos uma raiz dupla:
Passo 7
Então, as raízes da equação
são
e
(com multiplicidade 2). Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para saber onde a expressão é positiva.
Passo 8
Dividindo a linha dos números com as raízes
e
, temos três intervalos:
Vamos testar um número em cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Observamos que a expressão
é positiva somente para
. Portanto, o domínio da função
é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar as possíveis raízes da função
. Para isso, queremos resolver
:
Passo 11
Simplificando a expressão exponencial com logaritmo de base 10, sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 12
Vamos resolver a equação
. Testando possíveis raízes racionais, vemos que
é uma raiz porque:
Passo 13
Fazendo a divisão polinomial ou fatorando, temos:
Passo 14
Resolvendo
, encontramos:
Passo 15
Portanto, as raízes da equação são:
Resposta
O domínio da função é
e as possíveis raízes são
,
e
.
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Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
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