Exercício 65. Determine o dominio as possiveis raizes para as funções.
iv)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e as possíveis raízes da função . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função logarítmica e como encontrar as raízes dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica exige que o argumento seja positivo. Então, temos que:
Para simplificar, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, . Substituindo na inequação:

Passo 3

Agora, resolvemos a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e .

Passo 4

Como a inequação é e o coeficiente de é positivo, o gráfico é uma parábola voltada para cima. Portanto, a inequação é satisfeita para ou .
Assim, temos:

Passo 5

Vamos resolver cada intervalo separadamente:
  1. Para :
    Aplicando logaritmo na base 3:
  2. Para :
    Aplicando logaritmo na base 3:

Passo 6

Portanto, o domínio da função é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as possíveis raízes da função, ou seja, os valores de que satisfazem .
Lembrando que , então:

Passo 8

Resolvendo a equação:
Fazendo a substituição :
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática :
As soluções são e .

Passo 10

Agora, retornamos a :
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

O domínio da função é:
As possíveis raízes da função são:

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Demonstre que