Mostre que a função abaixo é,ou não diferenciável em . Caso afirmativo, calcule a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é diferenciável em . Se for, também precisamos encontrar a derivada nesse ponto. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre limites e derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Ela é definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de . Nossa missão é ver se, em , essa função tem uma derivada.

Passo 3

Antes de verificar a diferenciabilidade, precisamos garantir que a função seja contínua em . Afinal, se a função não for contínua nesse ponto, ela não será diferenciável.
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 por valores menores que 0 (à esquerda) e por valores maiores que 0 (à direita):
  1. Para :
  1. Para :
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
Como tende a 0 quando tende a 0:
Como os dois limites laterais são iguais a 0 e , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em . Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda ( ) e pela direita ( ) e ver se elas são iguais.
  1. Derivada pela esquerda ( ):
  1. Derivada pela direita ( ):
Novamente, sabemos que está entre -1 e 1, então:
Como tende a 0:

Passo 5

Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais (ambas são 0), a função é diferenciável em . Portanto, a derivada em é:

Resposta

A função é diferenciável em e a derivada nesse ponto é .

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