Mostre que a função abaixo é,ou não diferenciável em
. Caso afirmativo, calcule a derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é diferenciável em
. Se for, também precisamos encontrar a derivada nesse ponto. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre limites e derivadas de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Ela é definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de
. Nossa missão é ver se, em
, essa função tem uma derivada.
Passo 3
Antes de verificar a diferenciabilidade, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Afinal, se a função não for contínua nesse ponto, ela não será diferenciável.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 por valores menores que 0 (à esquerda) e por valores maiores que 0 (à direita):
- Para
:
- Para
:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1. Então:
Como
tende a 0 quando
tende a 0:
Como os dois limites laterais são iguais a 0 e
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda (
) e pela direita (
) e ver se elas são iguais.
- Derivada pela esquerda (
):
- Derivada pela direita (
):
Novamente, sabemos que
está entre -1 e 1, então:
Como
tende a 0:
Passo 5
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais (ambas são 0), a função é diferenciável em
. Portanto, a derivada em
é:
Resposta
A função é diferenciável em
e a derivada nesse ponto é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
No circuito RC, resistência R, capacitância
e força eletromotriz E, colocando a chave
na posição
o capacitor é carregado e
é chamado constante de tempo capacitiva. Sendo a corrente
, então:
Encontre
Encontre
No circuito RC, resistência R, capacitância
e força eletromotriz E, colocando a chave
na posição
o capacitor é carregado e
é chamado constante de tempo capacitiva. Sendo a corrente
, então:
O que acontece quando cresce muito?
O que acontece quando
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.