Calcule o limite
.
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas e regras de derivação. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a indeterminação do tipo
usando a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 2:
- Numerador:
quando fica . - Denominador:
quando também fica .
Então, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: Usamos a regra da cadeia. A derivada deé , onde e . Portanto,. -
Derivada do denominador
: A derivada deé 1 e a de uma constante é 0. Então, .
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelas derivadas que calculamos:
Substituindo
:
Resposta
A alternativa correta é (a)
.