Calcule o limite L=lim x 2 ln (3-x)x-2.
(a) L=-1;
(b) L=0;
© L=ln 3;
(d) L=+infty;
(e) L=ln 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas e regras de derivação. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a indeterminação do tipo usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 2:
  • Numerador: quando fica .
  • Denominador: quando também fica .
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde e .
    Portanto, .
  • Derivada do denominador :
    A derivada de é 1 e a de uma constante é 0. Então, .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelas derivadas que calculamos:
L = limx 2 ln (3 - x)x - 2 = limx 2 -13 - x1 = limx 2 -13 - x
Substituindo L = -13 - 2 = -11 = -1 :

Resposta

A alternativa correta é (a) .

Exercícios relacionados