Calcule o limite L=lim x 2 ln (3-x)x-2.
(a) L=-1;
(b) L=0;
© L=ln 3;
(d) L=+infty;
(e) L=ln 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas e regras de derivação. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a indeterminação do tipo usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 2:
  • Numerador: quando fica .
  • Denominador: quando também fica .
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde e .
    Portanto, .
  • Derivada do denominador :
    A derivada de é 1 e a de uma constante é 0. Então, .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelas derivadas que calculamos:
L = limx 2 ln (3 - x)x - 2 = limx 2 -13 - x1 = limx 2 -13 - x
Substituindo L = -13 - 2 = -11 = -1 :

Resposta

A alternativa correta é (a) .

Exercícios relacionados

Calcule
x) integral cot g^3(5 x+2) d x
A derivada da função f(x) = x / (x + 1) é:
(A) 1
(B) 1/(x+1)^2
© -1/((x+1)^{2})
(D) (2x + 1) / (x + 1)^(2)
(E) 1/(x+1)
Use uma integral definida para obter a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo dado.
b) f(x) = -x^2, x ∈ [0,1]
Considere f(x)=llsen(alpha x), & se x<0, x^2-pi2 x, & se 0 <= x <= pi2, arctan (x-beta), & se x>pi2 Para quais valores das constantes q e beta, a função f(x) é contínua em todo seu domínio?
(A) Para quaisquer valores alpha in R e beta in R.
(B) Para todo alpha=k pi, onde k in Z, rho beta=0.
© Näo existe alpha in R que torne f(x) continua em x=0.
(D) Para todo alpha in R e beta=pi2.
(E) Para todo alpha=pi2 e beta=pi2+k pi, onde k in Z.