Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas e regras de derivação. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a indeterminação do tipo usando a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 2:
Numerador: quando fica .
Denominador: quando também fica .
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde e .
Portanto, .
Derivada do denominador :
A derivada de é 1 e a de uma constante é 0. Então, .
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelas derivadas que calculamos: