Calcule
x) integral cot g^3(5 x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de cot(g^3(5x+2)) em relação a x. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a integração de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Vamos deixar u = g^3(5x + 2). Isso significa que a expressão dentro da função cosseno elevada ao cubo será substituída por u.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx. Aplicando a regra da cadeia:
dudx = 3g^2(5x + 2) cdot 5 = 15g^2(5x + 2)
Então, podemos escrever dx em termos de du:
dx = du15g^2(5x + 2)

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral cot(g^3(5x + 2)) , dx = integral cot(u) cdot du15g^2(5x + 2)
Isso simplifica para:
115 integral cot(u)g^2(5x + 2) , du

Passo 5

Assumindo que g é uma função tal que g^2(5x + 2) não depende de u, a integral fica:
115g^2(5x + 2) integral cot(u) , du
Sabemos que:
integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos u de volta pela expressão original:
115g^2(5x + 2) ln|sin(g^3(5x + 2))| + C

Resposta

Portanto, a integral de cot(g^3(5x+2)) em relação a x é:
115g^2(5x + 2) ln|sin(g^3(5x + 2))| + C

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