Calcule o limite lim t 0 r(t) para r(t)=(t ln (t+1), 1t+1, t^5).

Passo 1

Vamos calcular o limite lim t 0 r(t) para a função vetorial r(t)=(t ln (t+1), 1t+1, t^5). Para resolver isso, vamos analisar o limite de cada componente da função separadamente. Precisamos utilizar conceitos de limites, logaritmos e funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: t ln(t+1) quando t tende a 0.
Sabemos que ln(1 + x) approx x para valores pequenos de x. Portanto, quando t está perto de 0:
ln(t + 1) approx t
Assim,
t ln(t+1) approx t cdot t = t^2
E como t^2 tende a 0 quando t tende a 0:
limt to 0 t ln(t+1) = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da segunda componente: 1t+1 quando t tende a 0.
Substituindo t = 0 diretamente:
10 + 1 = 1
Portanto,
limt to 0 1t+1 = 1

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite da terceira componente: t^5 quando t tende a 0.
Sabemos que para qualquer número real n, limt to 0 t^n = 0. Assim,
limt to 0 t^5 = 0

Resposta

O limite é 0, 1, 0. Portanto,
lim t 0 r(t) = (0, 1, 0)

Exercícios relacionados