Calcule o limite
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite
onde
. A gente vai trabalhar com limites de funções vetoriais, que são basicamente limites de cada componente da função. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre limites, funções exponenciais, radiciação e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função:
. Quando calculamos o limite dessa função quando
se aproxima de 1, estamos vendo o que acontece com
perto de
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
por 1, temos
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Essa é uma função exponencial, e sabemos que o limite de
quando
se aproxima de 0 é
.
Passo 5
Calculando
, substituímos
por 1:
.
Passo 6
Finalmente, vamos para a terceira componente:
. Sabemos que a função seno é contínua, então o limite de
quando
se aproxima de algum valor é simplesmente
desse valor.
Passo 7
Calculando
, primeiro substituímos
por 1:
.
Resposta
Portanto, o limite é
.
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para
.
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para
.
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onde
.
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para
.