Calcule o limite
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da função vetorial
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem logaritmos, raízes e potências. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função vetorial individualmente e ver o que acontece quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente da função:
.
Sabemos que
devido às propriedades dos logaritmos. Conforme
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto:
Passo 3
Agora vamos para o segundo componente:
.
Quando
cresce muito, a diferença entre
e 1 fica desprezível, então podemos simplificar para
. Sabemos que a raiz quadrada de
aumenta sem limite conforme
tende ao infinito. Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos analisar o terceiro componente:
.
Qualquer potência de
com expoente positivo tende ao infinito conforme
cresce. No caso de
, o crescimento é ainda mais rápido. Então:
Resposta
Assim, o limite da função vetorial
quando
tende ao infinito é:
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onde
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