Calcule o limite lim t infty r(t) para r(t)=(ln (t^2), raizt-1, t^4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem logaritmos, raízes e potências. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função vetorial individualmente e ver o que acontece quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente da função: limt to infty ln(t^2) = limt to infty 2ln(t) = infty .
Sabemos que devido às propriedades dos logaritmos. Conforme tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto:

Passo 3

Agora vamos para o segundo componente: limt to infty raizt - 1 = limt to infty raizt = infty .
Quando cresce muito, a diferença entre e 1 fica desprezível, então podemos simplificar para . Sabemos que a raiz quadrada de aumenta sem limite conforme tende ao infinito. Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos analisar o terceiro componente: limt to infty t^4 = infty .
Qualquer potência de com expoente positivo tende ao infinito conforme cresce. No caso de , o crescimento é ainda mais rápido. Então:

Resposta

Assim, o limite da função vetorial limt to infty r(t) = ( infty, infty, infty ) quando tende ao infinito é:

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