Calcule o limite lim t 2 r(t) para r(t)=(t^3-8, ln (t^2), sin (t^2-4)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite para a função vetorial r(t) = (t^3-8, ln (t^2), sin (t^2-4)). O que queremos é descobrir o que acontece com cada componente dessa função quando t se aproxima de 2. Para isso, vamos usar conhecimentos básicos de limites para funções polinomiais, logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da primeira componente, que é t^3 - 8, quando t se aproxima de 2. Como essa é uma função polinomial, podemos simplesmente substituir t por 2:
limt to 2 (t^3 - 8) = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: ln(t^2). O logaritmo natural é contínuo, então também podemos substituir diretamente t por 2:
limt to 2 ln(t^2) = ln(2^2) = ln(4)

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: sin(t^2 - 4). A função seno também é contínua, então substituímos t por 2:
limt to 2 sin(t^2 - 4) = sin(2^2 - 4) = sin(4 - 4) = sin(0) = 0

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando t se aproxima de 2 é:
limt to 2 r(t) = (0, ln(4), 0)

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