Calcule o limite
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
, onde
.
Aqui estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, ou seja, analisando o comportamento de cada componente do vetor
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada uma das três partes do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
.
Quando
cresce muito grande (tende ao infinito), o que importa mesmo são os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador temos
e no denominador
.
Então, podemos simplificar dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
:
Quando
vai para o infinito,
vai para zero, então:
Portanto, a primeira componente tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Aqui, temos que
cresce muito mais rápido que
. Para ver isso de forma mais clara, podemos fatorar
:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Então:
Assim, a segunda componente também tende ao infinito.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira componente:
.
A função cosseno é uma função periódica que oscila entre
e
para qualquer valor de
. No caso de
, mesmo quando
tende ao infinito, o cosseno continua a oscilar entre
e
.
Isso significa que:
Portanto, não existe um limite definido para
quando
tende ao infinito, já que ela não se aproxima de nenhum valor específico.
Resposta
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Calcule o limite
para
.
Calcule
, onde
.
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para
.
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para
.