Calcule o limite lim t infty r(t) onde r(t)=(t^21+t, t-raizt, cos (t^2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite , onde .
Aqui estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, ou seja, analisando o comportamento de cada componente do vetor quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada uma das três partes do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: t^21+t = t^2/t(1)/t + t/t = t1t + 1 .
Quando limt to infty t1t + 1 = limt to infty t1 = infty cresce muito grande (tende ao infinito), o que importa mesmo são os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador temos e no denominador .
Então, podemos simplificar dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
Quando vai para o infinito, vai para zero, então:
Portanto, a primeira componente tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: t - raizt = t(1 - 1raizt) .
Aqui, temos que limt to infty t(1 - 1raizt) = limt to infty t cdot 1 = infty cresce muito mais rápido que . Para ver isso de forma mais clara, podemos fatorar :
Quando tende ao infinito, tende a zero. Então:
Assim, a segunda componente também tende ao infinito.

Passo 4

Por último, vamos analisar a terceira componente: -1 <= cos(t^2) <= 1 .
A função cosseno é uma função periódica que oscila entre e para qualquer valor de . No caso de , mesmo quando tende ao infinito, o cosseno continua a oscilar entre e .
Isso significa que:
Portanto, não existe um limite definido para quando tende ao infinito, já que ela não se aproxima de nenhum valor específico.

Resposta

lim t infty r(t) = (infty, infty, indefinido)

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