Calcule o limite.
lim x -infty 1+2 x-2 x^22 x^2+2 x^2-5

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite:
lim x -infty 1 + 2x - 2x^22x^2 + 2x^2 - 5
Esse exercício pertence ao conteúdo de limites no infinito de funções racionais. Para resolver, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador e analisar como eles se comportam quando tende a menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador:
2x^2 + 2x^2 - 5 = 4x^2 - 5
Então, a expressão do limite fica:
lim x -infty 1 + 2x - 2x^24x^2 - 5

Passo 3

Em limites no infinito de funções racionais, os termos de maior grau (aqueles com a maior potência de ) dominam o comportamento da função quando tende a infinito ou menos infinito. Nesse caso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é .

Passo 4

Vamos focar nesses termos de maior grau:
  • Numerador: lim x -infty -2x^24x^2
  • Denominador: -24 = -12
Agora, nosso limite simplificado fica:
Podemos simplificar cancelando :

Resposta

O limite é .

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