Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função f(x) definida por partes e queremos descobrir o limite dessa função quando x se aproxima de 0, ou seja, limx 0 f(x). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites laterais e verificar se eles são iguais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o limite de uma função em um ponto existe somente se os limites pela esquerda e pela direita nesse ponto forem iguais. Então, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pela esquerda (limx to 0^- f(x)) e pela direita (limx to 0^+ f(x)).
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo de valores menores que 0. De acordo com a definição da função:
f(x) = -x - 1 se x < 0
Então,
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-x - 1)
Como x está se aproximando de 0, substituímos:
limx to 0^- (-x - 1) = -0 - 1 = -1
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo de valores maiores ou iguais a 0, mas menores que 1. Segundo a definição da função:
f(x) = -x^2 - 1 se 0 <= x < 1
Então,
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (-x^2 - 1)
Substituindo x por 0:
limx to 0^+ (-x^2 - 1) = -0^2 - 1 = -1
Passo 5
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais:
limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) = -1
Isso significa que o limite da função f(x) quando x se aproxima de 0 existe e é igual a -1.