Calcule o limite
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
onde
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos analisar o limite de cada componente da função vetorial individualmente.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente:
. Aqui, queremos saber o que acontece quando
fica cada vez maior, tendendo ao infinito. Sabemos que à medida que
aumenta, o valor de
diminui, aproximando-se de zero. Portanto,
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Novamente, estamos vendo o que ocorre com essa expressão quando
tende ao infinito. Observando os termos, percebemos que
cresce muito mais rapidamente que
conforme
aumenta. Assim, o termo dominante é
, e o
se torna negligenciável. Portanto,
Passo 4
Por fim, analisamos a terceira componente:
. Esta é uma função exponencial onde a base
está elevada a
. Sabemos que funções exponenciais com expoentes positivos crescem muito rapidamente à medida que
aumenta. Assim,
Resposta
Juntando os limites de cada componente, temos:
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para
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onde
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onde
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