Calcule o limite lim t infty r(t) onde r(t)=(1t, t^3-t, e^2 t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite onde . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos analisar o limite de cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: limt to infty 1t = 0 . Aqui, queremos saber o que acontece quando fica cada vez maior, tendendo ao infinito. Sabemos que à medida que aumenta, o valor de diminui, aproximando-se de zero. Portanto,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to infty (t^3 - t) = infty . Novamente, estamos vendo o que ocorre com essa expressão quando tende ao infinito. Observando os termos, percebemos que cresce muito mais rapidamente que conforme aumenta. Assim, o termo dominante é , e o se torna negligenciável. Portanto,

Passo 4

Por fim, analisamos a terceira componente: limt to infty e^2t = infty . Esta é uma função exponencial onde a base está elevada a . Sabemos que funções exponenciais com expoentes positivos crescem muito rapidamente à medida que aumenta. Assim,

Resposta

Juntando os limites de cada componente, temos:
lim t infty r(t) = (0, infty, infty)

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