Calcule o limite lim t 0 r(t) para r(t)=(t^2-t, cos (t^3), e^t^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da função vetorial r(t) = (t^2-t, cos (t^3), e^t^2) quando t se aproxima de 0. Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais, que são basicamente vetores cujas componentes são funções de uma variável. Para resolver esse limite, vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: t^2 - t. Queremos encontrar o limite dela quando t se aproxima de 0. Sabemos que para polinômios, o limite é simplesmente o valor da função no ponto. Então:
limt to 0 (t^2 - t) = 0^2 - 0 = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: cos(t^3). A função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos simplesmente substituir t por 0:
limt to 0 cos(t^3) = cos(0^3) = cos(0) = 1

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: e^t^2. A função exponencial também é contínua, então fazemos a substituição direta:
limt to 0 e^t^2 = e^0^2 = e^0 = 1

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial r(t) quando t se aproxima de 0 é:
limt to 0 r(t) = (0, 1, 1)

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