Calcule o limite
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial
quando
se aproxima de 1. O enunciado é:
Para isso, vamos usar conhecimentos de limites de funções componentes e entender como calcular os limites de cada parte da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites de cada uma das suas componentes. Ou seja,
Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
.
Aqui, percebemos que quando
se aproxima de 1, o denominador
se aproxima de 0. Dependendo da direção de abordagem (se
vem de números maiores que 1 ou menores que 1), o valor de
pode ir para
ou
. Por isso, esse limite não existe de forma finita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Substituindo
por 1 na expressão, temos:
Então, esse limite é igual a 0.
Passo 5
Por último, temos a terceira componente:
.
Como a função seno é contínua em todos os pontos, o limite é simplesmente o valor da função no ponto:
Resposta
Combinando os limites das três componentes, temos:
Ou seja, o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 1 não existe devido à primeira componente que tende ao infinito.
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Calcule o limite
para
.
Calcule o limite
onde
.
Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
é dada por
.
Calcule o limite
para
.