Calcule o limite onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 1. O enunciado é:
Para isso, vamos usar conhecimentos de limites de funções componentes e entender como calcular os limites de cada parte da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites de cada uma das suas componentes. Ou seja,
Vamos calcular cada um desses limites separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: .
Aqui, percebemos que quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0. Dependendo da direção de abordagem (se vem de números maiores que 1 ou menores que 1), o valor de pode ir para ou . Por isso, esse limite não existe de forma finita.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: .
Substituindo por 1 na expressão, temos:
Então, esse limite é igual a 0.

Passo 5

Por último, temos a terceira componente: .
Como a função seno é contínua em todos os pontos, o limite é simplesmente o valor da função no ponto:

Resposta

Combinando os limites das três componentes, temos:
ã
Ou seja, o limite da função vetorial quando se aproxima de 1 não existe devido à primeira componente que tende ao infinito.

Exercícios relacionados

Calcule o limite para .
Calcule o limite onde .
Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que é dada por .
Calcule o limite para .