Calcule o limite lim t 1 r(t) onde r(t)=(1t-1, t^4-1, sin (t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial r(t) quando t se aproxima de 1. O enunciado é:
lim t 1 r(t) onde r(t)=(1t-1, t^4-1, sin (t))
Para isso, vamos usar conhecimentos de limites de funções componentes e entender como calcular os limites de cada parte da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites de cada uma das suas componentes. Ou seja,
lim t 1 r(t) = ( limt to 1 1t-1, limt to 1 (t^4 - 1), limt to 1 sin(t) )
Vamos calcular cada um desses limites separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: limt to 1 1t-1.
Aqui, percebemos que quando t se aproxima de 1, o denominador t-1 se aproxima de 0. Dependendo da direção de abordagem (se t vem de números maiores que 1 ou menores que 1), o valor de 1t-1 pode ir para +infty ou -infty. Por isso, esse limite não existe de forma finita.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: limt to 1 (t^4 - 1).
Substituindo t por 1 na expressão, temos:
1^4 - 1 = 1 - 1 = 0
Então, esse limite é igual a 0.

Passo 5

Por último, temos a terceira componente: limt to 1 sin(t).
Como a função seno é contínua em todos os pontos, o limite é simplesmente o valor da função no ponto:
sin(1) approx 0,8415

Resposta

Combinando os limites das três componentes, temos:
lim t 1 r(t) = ( não existe, 0, sin(1) ) ã
Ou seja, o limite da função vetorial r(t) quando t se aproxima de 1 não existe devido à primeira componente que tende ao infinito.

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