Calcule o limite lim t 3 r(t) para r(t)=(2 t+1, sin (t^2), ln (t+1)).

Passo 1

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 da função vetorial . Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções vetoriais, que nos permite encontrar o limite de cada componente da função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o limite do primeiro componente: limt to 3 (2t + 1) = 2 times 3 + 1 = 7 . Como essa é uma função do tipo polinomial, podemos simplesmente substituir por 3.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: limt to 3 sin(t^2) = sin(limt to 3 t^2) = sin(9) . A função seno é contínua, o que significa que o limite do seno de algo é o seno do limite desse algo. Então, primeiro calculamos o limite de quando se aproxima de 3.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite do terceiro componente: limt to 3 ln(t + 1) = ln(limt to 3 (t + 1)) = ln(4) . A função logaritmo natural também é contínua, então o limite do logaritmo é o logaritmo do limite de .

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial é:
limt to 3 r(t) = (7, sin 9, ln 4)

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