Calcule o limite lim t 0 r(t) onde r(t)=(t sin (t), raizt+1-1, t^4).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. A função vetorial que temos é . Para resolver isso, precisamos calcular o limite de cada componente da função separadamente. Vamos usar conceitos de limite de funções básicas como seno, raiz quadrada e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: limt to 0 t sin(t) = 0 times 0 = 0 .
Sabemos que . Então, multiplicando por , que também vai para 0, temos:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: raiz1 + t approx 1 + t2 .
Para encontrar esse limite, podemos usar a aproximação de raizt + 1 - 1 approx (1 + t2) - 1 = t2 quando limt to 0 ( raizt + 1 - 1 ) = 02 = 0 está próximo de 0. Sabemos que:
Então:
Portanto:

Passo 4

Por fim, a terceira componente é limt to 0 t^4 = 0 .
Sabemos que qualquer potência de que seja positiva vai para 0 quando se aproxima de 0. Então:

Resposta

limt to 0 r(t) = (0, 0, 0)

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