Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
, onde
. Esse cálculo envolve duas operações importantes do cálculo vetorial: o gradiente (
) e a divergência (
). Basicamente, vamos primeiro encontrar o gradiente da função
e depois calcular a divergência desse gradiente. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Matemáticamente, é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 4
Agora que temos o gradiente, vamos calcular a divergência desse vetor. A divergência de um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y) $ é dada por:
No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Primeira parte:
Segunda parte:
Porque
não depende de
, a derivada em relação a
é zero.
Passo 6
Somando as duas partes para obter a divergência:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite
para
.
Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
é dada por
.
Calcule o limite
para
.
Calcule o limite
onde
.