Calcule , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular , onde . Esse cálculo envolve duas operações importantes do cálculo vetorial: o gradiente ( ) e a divergência ( ). Basicamente, vamos primeiro encontrar o gradiente da função e depois calcular a divergência desse gradiente. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Matemáticamente, é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Portanto, o gradiente fica:

Passo 4

Agora que temos o gradiente, vamos calcular a divergência desse vetor. A divergência de um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y) $ é dada por:
No nosso caso, , então substituindo:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Primeira parte:
Segunda parte:
Porque não depende de , a derivada em relação a é zero.

Passo 6

Somando as duas partes para obter a divergência:

Resposta

Portanto, .

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