Calcule o limite lim n +infty an+1an, se:
an=n!n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite , onde . Esse problema envolve conceitos de sequências e limites, além de propriedades de fatorial. Vamos usar a regra de limites de sequência e simplificar as expressões passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever an+1 = (n+1)!n+1 usando a definição da sequência:

Passo 3

Agora, vamos montar a razão an+1an = (n+1)!n+1n!n = (n+1)!n+1 times nn! :

Passo 4

Simplificando a expressão, sabemos que (n+1) times n!n+1 times nn! = (n+1) times n!n+1 times nn! = n . Substituindo isso na equação:

Passo 5

Então, a razão limn to +infty n = +infty simplifica para apenas . Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Resposta

O limite .

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