Represente, no plano xy as curvas de nível:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos, no plano xy, as curvas de nível da função para os valores , e . Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível em matemática, que são curvas onde a função assume um valor constante . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da função e entender como representar graficamente essas curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Para uma função , a curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem . Então, vamos igualar a cada valor de e resolver para .

Passo 3

Vamos começar com . Substituindo na equação:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Então, a curva de nível para é , que é uma parábola voltada para baixo.

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para . Substituindo na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Resolvendo para :
Portanto, a curva de nível para é , que também é uma parábola voltada para baixo, mas deslocada 4 unidades para cima.

Passo 7

Por fim, vamos considerar . Substituindo na equação:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 8

Resolvendo para :
Assim, a curva de nível para é , outra parábola voltada para baixo, deslocada 5 unidades para cima.

Resposta

As curvas de nível no plano xy são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Prove as relações:
;
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
Calcule o limite , se: