Represente, no plano xy as curvas de nível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos, no plano xy, as curvas de nível da função
para os valores
,
e
. Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível em matemática, que são curvas onde a função
assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da função e entender como representar graficamente essas curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Para uma função
, a curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Então, vamos igualar
a cada valor de
e resolver para
.
Passo 3
Vamos começar com
. Substituindo na equação:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Então, a curva de nível para
é
, que é uma parábola voltada para baixo.
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para
. Substituindo na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto, a curva de nível para
é
, que também é uma parábola voltada para baixo, mas deslocada 4 unidades para cima.
Passo 7
Por fim, vamos considerar
. Substituindo na equação:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 8
Resolvendo para
:
Assim, a curva de nível para
é
, outra parábola voltada para baixo, deslocada 5 unidades para cima.
Resposta
As curvas de nível no plano xy são:
- Para
: - Para
: - Para
:
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Prove as relações:
;
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
Calcule o limite
, se: