Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se a sequência
é limitada inferiormente e/ou superiormente, e depois concluir se ela é ou não limitada. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de sequências e limites, além de entender o que significa uma sequência ser limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a sequência dada:
. Aqui,
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar. Isso significa que a sequência vai se comportar de maneira diferente para valores pares e ímpares de
.
Passo 3
Vamos separar a sequência para quando
é par e quando
é ímpar.
-
Quando
é par: . Então: Isso significa que parapar, a sequência é igual a . -
Quando
é ímpar: . Então: Paraímpar, a sequência é igual a 0.
Passo 4
Agora, vamos analisar os dois casos:
-
Para
par: . Isso significa que conforme aumenta, também aumenta sem limite. -
Para
ímpar: , ou seja, permanece constante em 0.
Passo 5
Vamos verificar se a sequência é limitada superiormente:
- Observamos que para
par, cresce indefinidamente. Assim, não há um número real que seja maior que todos os termos da sequência. Portanto, a sequência não é limitada superiormente.
Passo 6
Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente:
- Para
ímpar, . Além disso, para par, é sempre positivo. Assim, o menor valor que a sequência atinge é 0. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0.
Resposta
A sequência
é limitada inferiormente por 0, mas não é limitada superiormente. Assim, a sequência não é limitada.
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Calcule o limite
, se:
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
Represente, no plano xy as curvas de nível:
Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é a parte superior da esfera