Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se a sequência é limitada inferiormente e/ou superiormente, e depois concluir se ela é ou não limitada. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de sequências e limites, além de entender o que significa uma sequência ser limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a sequência dada: . Aqui, alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar. Isso significa que a sequência vai se comportar de maneira diferente para valores pares e ímpares de .

Passo 3

Vamos separar a sequência para quando é par e quando é ímpar.
  • Quando é par: . Então:
    Isso significa que para par, a sequência é igual a .
  • Quando é ímpar: . Então:
    Para ímpar, a sequência é igual a 0.

Passo 4

Agora, vamos analisar os dois casos:
  • Para par: . Isso significa que conforme aumenta, também aumenta sem limite.
  • Para ímpar: , ou seja, permanece constante em 0.

Passo 5

Vamos verificar se a sequência é limitada superiormente:
  • Observamos que para par, cresce indefinidamente. Assim, não há um número real que seja maior que todos os termos da sequência. Portanto, a sequência não é limitada superiormente.

Passo 6

Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente:
  • Para ímpar, . Além disso, para par, é sempre positivo. Assim, o menor valor que a sequência atinge é 0. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0.

Resposta

A sequência é limitada inferiormente por 0, mas não é limitada superiormente. Assim, a sequência não é limitada.

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