Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
F(x, y, z) = (e^y, e^x, e^z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional (ou curl) de um campo vetorial. O campo vetorial dado é F(x, y, z) = (e^y, e^x, e^z). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do rotacional, que envolve derivadas parciais dos componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o rotacional de um campo vetorial . A fórmula é:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de cada componente do campo vetorial em relação às outras variáveis.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para o rotacional.

Passo 4

Primeiro, calculamos e :
  • (já que e^z não depende de y)
  • (já que e^x não depende de z)
Então, a primeira componente do rotacional é .

Passo 5

Em seguida, calculamos e :
  • (já que e^y não depende de z)
  • (já que e^z não depende de x)
Então, a segunda componente do rotacional é .

Passo 6

Por último, calculamos e :
Então, a terceira componente do rotacional é .

Resposta

O rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (e^y, e^x, e^z) é:

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