Calcule o rotacional dos campos vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional (ou curl) de um campo vetorial. O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do rotacional, que envolve derivadas parciais dos componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o rotacional de um campo vetorial . A fórmula é:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de cada componente do campo vetorial em relação às outras variáveis.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para o rotacional.

Passo 4

Primeiro, calculamos e :
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )
Então, a primeira componente do rotacional é .

Passo 5

Em seguida, calculamos e :
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )
Então, a segunda componente do rotacional é .

Passo 6

Por último, calculamos e :
Então, a terceira componente do rotacional é .

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:

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Represente, no plano xy as curvas de nível:
Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Calcule o limite , se:
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.