Calcule o limite
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função vetorial
quando
tende ao infinito. Isso envolve entender como cada componente dessa função se comporta conforme
cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre limites de funções exponenciais, funções trigonométricas inversas e funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial:
. A função exponencial com base
e expoente
diminui à medida que
aumenta.
Teoria Aplicada: Sabemos que
, porque o termo
se aproxima de zero conforme
cresce.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Essa é a função arctangente, que dá o ângulo cujo tangente é
.
Teoria Aplicada: O limite da arctangente quando
tende ao infinito é
. Ou seja,
.
Passo 4
Por último, temos a terceira componente:
. Essa é uma função polinomial de grau 5.
Teoria Aplicada: Para funções polinomiais, quando o expoente é positivo e
tende ao infinito, a função também tende ao infinito. Assim,
.
Resposta
Portanto, o limite da função vetorial
quando
tende ao infinito é:
Exercícios relacionados
Calcule o limite
onde
.
Questão Seja
. Determine: (b) (4 pts) Os pontos de máximo e mínimo locais de
.
Seja
. Calcule o laplaciano de
.
Considere a função
dada por
. Calcule
.