Calcule o limite onde .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função vetorial quando tende ao infinito. Isso envolve entender como cada componente dessa função se comporta conforme cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre limites de funções exponenciais, funções trigonométricas inversas e funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial: . A função exponencial com base e expoente diminui à medida que aumenta.
Teoria Aplicada: Sabemos que , porque o termo se aproxima de zero conforme cresce.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Essa é a função arctangente, que dá o ângulo cujo tangente é .
Teoria Aplicada: O limite da arctangente quando tende ao infinito é . Ou seja, .

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: . Essa é uma função polinomial de grau 5.
Teoria Aplicada: Para funções polinomiais, quando o expoente é positivo e tende ao infinito, a função também tende ao infinito. Assim, .

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando tende ao infinito é:

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