Considere a função h(t) dada por h(t)=integral0^1 e^-t x^2 d x. Calcule h^prime(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função que é definida por uma integral: . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, calcular . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra de derivação de uma integral com limites constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como funciona a derivação de uma função definida por uma integral. Quando temos uma função como h^prime(t) = integrala^b partialpartial t f(t, x) , dx , onde os limites e são constantes, a derivada em relação a é dada por:
Isso significa que podemos derivar a função de dentro da integral em relação a e depois integrar o resultado.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos partialpartial t e^-t x^2 = -x^2 e^-t x^2 . Vamos derivar h^prime(t) = integral0^1 -x^2 e^-t x^2 , dx em relação a :
Então, a derivada de fica:

Passo 4

Podemos simplificar essa expressão colocando o sinal negativo na frente da integral:
h^prime(t) = -integral0^1 x^2 e^-t x^2 , dx
Essa é a forma final da derivada de .

Resposta

A derivada de h^prime(t) = -integral0^1 x^2 e^-t x^2 , dx é:

Exercícios relacionados