Questão Seja . Determine: (b) (4 pts) Os pontos de máximo e mínimo locais de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função . Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. A derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Isso nos dá duas soluções: e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de :

Passo 5

Agora avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
  • Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função tem um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em .

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