Calcule o limite lim t infty r(t) para r(t)=(ln (t), t^-1, t^2).

Passo 1

Vamos analisar o limite da função vetorial r(t) = (ln(t), t^-1, t^2) conforme t tende ao infinito. Estamos trabalhando com limites de funções em cálculo, e para resolver isso, precisamos calcular o limite de cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente, ln(t), quando t tende a infinito. Sabemos que a função logaritmo natural cresce sem limite conforme t aumenta, ou seja:
limt infty ln(t) = infty

Passo 3

Em seguida, avaliaremos o limite da segunda componente, t^-1, quando t tende a infinito. A função t^-1 representa 1/t, e sabemos que conforme t aumenta, 1/t se aproxima de zero:
limt infty t^-1 = 0

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente, t^2, quando t tende a infinito. Como t^2 cresce mais rapidamente que t, o limite é:
limt infty t^2 = infty

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial r(t) quando t tende a infinito é:
lim t infty r(t) = (infty,, 0,, infty)

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