Estime
com precisão de 0,01 .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos estimar a soma
com uma precisão de 0,01. Isso envolve conceitos de séries infinitas e aproximações de somas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma série e usar técnicas de aproximação para alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a soma
. Essa é uma série harmônica generalizada onde cada termo é
. Para somar muitos termos dessa série até um certo ponto
, precisamos de uma maneira eficiente de aproximar essa soma sem calcular cada termo individualmente.
Passo 3
Uma ferramenta útil para estimar somas de séries é a integração. Sabemos que a integral de uma função pode nos dar uma boa aproximação para a soma de seus valores discretos. Especificamente, para uma função decrescente como
, a soma pode ser aproximada pela integral da função contínua correspondente.
Passo 4
Vamos considerar a função contínua
. A integral dessa função de 1 até
é:
Calculando essa integral, temos:
Então, avaliando de 1 até
:
Passo 5
Agora, podemos usar essa integral para aproximar a soma:
Queremos que essa aproximação tenha uma precisão de 0,01, ou seja:
Para garantir que a diferença entre a soma real e a aproximação seja menor que 0,01, ajustamos a equação para:
Onde
é a soma que queremos estimar.
Passo 6
Vamos resolver para
a partir da condição de precisão. Queremos que:
Para simplificar, podemos resolver a equação:
Resposta
Portanto, para estimar a soma
com uma precisão de 0,01, precisamos que
.
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Determinse se a série é convergente ou divergente
Considere
como o conjunto de todas as cadeias de bits não vazias (ou seja, cadeias de bits com, pelo menos, um de extensão) de extensão não excedente a
. Encontre
.
Calcule o limite
para
.
Calcule o limite
.