Estime sumn=1^x n^-3 / 2 com precisão de 0,01 .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos estimar a soma com uma precisão de 0,01. Isso envolve conceitos de séries infinitas e aproximações de somas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma série e usar técnicas de aproximação para alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a soma . Essa é uma série harmônica generalizada onde cada termo é . Para somar muitos termos dessa série até um certo ponto , precisamos de uma maneira eficiente de aproximar essa soma sem calcular cada termo individualmente.

Passo 3

Uma ferramenta útil para estimar somas de séries é a integração. Sabemos que a integral de uma função pode nos dar uma boa aproximação para a soma de seus valores discretos. Especificamente, para uma função decrescente como , a soma pode ser aproximada pela integral da função contínua correspondente.

Passo 4

Vamos considerar a função contínua integral1^x n^-3/2 , dn . A integral dessa função de 1 até integral n^-3/2 , dn = -2n^-1/2 + C é:
-2x^-1/2 + 2
Calculando essa integral, temos:
Então, avaliando de 1 até :

Passo 5

Agora, podemos usar essa integral para aproximar a soma:
sumn=1^x n^-3/2 approx 2 - 2x^-1/2
Queremos que essa aproximação tenha uma precisão de 0,01, ou seja:
2 - 2x^-1/2 >= sumn=1^x n^-3/2 >= 2 - 2(x+1)^-1/2
Para garantir que a diferença entre a soma real e a aproximação seja menor que 0,01, ajustamos a equação para:
2 - 2x^-1/2 >= S >= 2 - 2(x+1)^-1/2
Onde é a soma que queremos estimar.

Passo 6

Vamos resolver para 2 - 2x^-1/2 <= S <= 2 - 2(x+1)^-1/2 + 0,01 a partir da condição de precisão. Queremos que:
2 - 2x^-1/2 = 2 - 0,01
Para simplificar, podemos resolver a equação:
-2x^-1/2 = -0,01
2x^-1/2 = 0,01
x^-1/2 = 0,005
x^1/2 = 10,005 = 200
x = 200^2 = 40,000

Resposta

Portanto, para estimar a soma com uma precisão de 0,01, precisamos que .

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