Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=0^infty(-1)^n n^2+1n^3+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=0^infty(-1)^n n^2+1n^3+4
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série é convergente (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente a Teste da Série Alternada e alguns outros testes que podem nos ajudar a entender o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série:
sumn=0^infty(-1)^n n^2+1n^3+4
Vemos que ela é uma série alternada porque o termo (-1)^n alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme n aumenta.

Passo 3

Para séries alternadas, um teste muito útil é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma:
sumn=0^infty(-1)^n an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos, ou seja, an > 0 para todo n.
  2. A sequência an é decrescente: cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, an+1 <= an.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero: limn to infty an = 0.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificamos an na nossa série:
an = n^2+1n^3+4
Vamos verificar a primeira condição:
  1. Positividade: Para todo n, tanto o numerador n^2+1 quanto o denominador n^3+4 são positivos, então an > 0.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência an é decrescente. Para isso, podemos analisar o comportamento de an conforme n aumenta.
Observando os termos:
  • Conforme n aumenta, o numerador n^2+1 cresce como n^2.
  • O denominador n^3+4 cresce como n^3, que cresce mais rápido que n^2.
Isso sugere que, conforme n aumenta, an diminui. Vamos confirmar calculando o limite quando n tende ao infinito.

Passo 6

Vamos calcular:
limn to infty n^2+1n^3+4
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por n^3, que é a maior potência de n no denominador:
limn to infty n^2n^3 + 1n^3n^3n^3 + 4n^3 = limn to infty 1n + 1n^31 + 4n^3
À medida que n tende ao infinito, 1n e 1n^3 tendem a zero. Portanto:
0 + 01 + 0 = 0
Então,
limn to infty an = 0

Passo 7

Com isso, verificamos as três condições do Teste da Série Alternada:
  1. an > 0 para todo n.
  2. an é decrescente conforme n aumenta.
  3. limn to infty an = 0.
Portanto, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série sumn=0^infty(-1)^n n^2+1n^3+4 é convergente.

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