Determinse se a série é convergente ou divergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série é convergente (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente a Teste da Série Alternada e alguns outros testes que podem nos ajudar a entender o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série:
Vemos que ela é uma série alternada porque o termo alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme aumenta.

Passo 3

Para séries alternadas, um teste muito útil é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos, ou seja, para todo .
  2. A sequência é decrescente: cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, .
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificamos na nossa série:
Vamos verificar a primeira condição:
  1. Positividade: Para todo , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é decrescente. Para isso, podemos analisar o comportamento de conforme aumenta.
Observando os termos:
  • Conforme aumenta, o numerador cresce como .
  • O denominador cresce como , que cresce mais rápido que .
Isso sugere que, conforme aumenta, diminui. Vamos confirmar calculando o limite quando tende ao infinito.

Passo 6

Vamos calcular:
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por , que é a maior potência de no denominador:
À medida que tende ao infinito, e tendem a zero. Portanto:
Então,

Passo 7

Com isso, verificamos as três condições do Teste da Série Alternada:
  1. para todo .
  2. é decrescente conforme aumenta.
  3. .
Portanto, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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Considere como o conjunto de todas as cadeias de bits não vazias (ou seja, cadeias de bits com, pelo menos, um de extensão) de extensão não excedente a . Encontre
.
Determinse se a série é convergente ou divergente
Estime com precisão de 0,01 .
Calcule o limite para .