Determinse se a série é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série é convergente (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente a Teste da Série Alternada e alguns outros testes que podem nos ajudar a entender o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a série:
Vemos que ela é uma série alternada porque o termo
alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme
aumenta.
Passo 3
Para séries alternadas, um teste muito útil é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, ou seja, para todo . - A sequência
é decrescente: cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identificamos
na nossa série:
Vamos verificar a primeira condição:
- Positividade: Para todo
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência
é decrescente. Para isso, podemos analisar o comportamento de
conforme
aumenta.
Observando os termos:
- Conforme
aumenta, o numerador cresce como . - O denominador
cresce como , que cresce mais rápido que .
Isso sugere que, conforme
aumenta,
diminui. Vamos confirmar calculando o limite quando
tende ao infinito.
Passo 6
Vamos calcular:
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
no denominador:
À medida que
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Portanto:
Então,
Passo 7
Com isso, verificamos as três condições do Teste da Série Alternada:
-
para todo . -
é decrescente conforme aumenta. -
.
Portanto, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.
Resposta
A série
é convergente.
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Considere
como o conjunto de todas as cadeias de bits não vazias (ou seja, cadeias de bits com, pelo menos, um de extensão) de extensão não excedente a
. Encontre
.
Determinse se a série é convergente ou divergente
Estime
com precisão de 0,01 .
Calcule o limite
para
.