Calcule o limite lim t 0 r(t) para r(t)=(raizt, ln (t+1), t^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função vetorial r(t) = (raizt, ln (t+1), t^3) quando t se aproxima de 0. Isso envolve o conceito de limites de funções vetoriais, onde a gente calcula o limite de cada componente da função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: raizt. A raiz quadrada de t está definida para t >= 0. Quando t se aproxima de 0, raizt também se aproxima de 0. Então,
limt 0 raizt = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: ln(t + 1). O logaritmo natural ln(x) é definido para x > 0. Aqui, t + 1 sempre será maior que 0, já que t está se aproximando de 0. Sabemos que ln(1) = 0, então quando t se aproxima de 0:
ln(t + 1) = ln(1 + t) approx t quando t é pequeno é
Portanto,
limt 0 ln(t + 1) = 0

Passo 4

Por último, vamos ver a terceira componente: t^3. Isso é uma função polinomial simples. Sabemos que qualquer potência de t tende a 0 quando t se aproxima de 0. Assim,
limt 0 t^3 = 0

Resposta

O limite de r(t) quando t se aproxima de 0 é:
lim t 0 r(t) = (0, 0, 0)

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