Calcule o limite lim t infty r(t) para r(t)=(t^-2, raizt+2, ln (t)).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de uma função vetorial r(t) = (t^-2, raizt+2, ln(t)) quando t vai para o infinito. Isso envolve entender como cada componente da função se comporta à medida que t cresce cada vez mais. Vamos precisar usar conceitos de limites para funções polinomiais, radicais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a primeira componente: t^-2. Isso é o mesmo que 1t^2. Quando t fica muito grande, t^2 também fica enorme, e dividir 1 por um número gigantesco resulta em um número muito pequeno que se aproxima de 0. Então,
limt infty t^-2 = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: raizt+2. A raiz quadrada de um número cresce à medida que o próprio número cresce. Conforme t vai para o infinito, t + 2 também vai para o infinito, e a raiz quadrada desse valor também tende ao infinito. Portanto,
limt infty raizt+2 = infty

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: ln(t). O logaritmo natural de t aumenta sem limite conforme t cresce, embora de forma mais lenta comparado a funções como polinômios ou exponenciais. Assim,
limt infty ln(t) = infty

Resposta

Juntando tudo, o limite da função vetorial r(t) quando t tende ao infinito é:
lim t infty r(t) = (0, infty, infty)

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