Calcule o limite para .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de uma função vetorial quando vai para o infinito. Isso envolve entender como cada componente da função se comporta à medida que cresce cada vez mais. Vamos precisar usar conceitos de limites para funções polinomiais, radicais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a primeira componente: . Isso é o mesmo que . Quando fica muito grande, também fica enorme, e dividir 1 por um número gigantesco resulta em um número muito pequeno que se aproxima de 0. Então,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A raiz quadrada de um número cresce à medida que o próprio número cresce. Conforme vai para o infinito, também vai para o infinito, e a raiz quadrada desse valor também tende ao infinito. Portanto,

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: . O logaritmo natural de aumenta sem limite conforme cresce, embora de forma mais lenta comparado a funções como polinômios ou exponenciais. Assim,

Resposta

Juntando tudo, o limite da função vetorial quando tende ao infinito é:

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Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que é dada por .
Calcule o limite onde .
Calcule , onde .
Calcule o limite para .