Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar uma integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green e, depois, calcular isso tudo. A integral de linha que temos é:
Aqui,
é uma curva fechada dada por para
, ou seja, o círculo unitário. Pra resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Então, vamos dividir a resolução em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha. Na nossa integral, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região dentro da curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos subtrair essas duas derivadas:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Como
é o círculo unitário, faz sentido usar coordenadas polares pra simplificar. Lembrando que em coordenadas polares,
e
.
Passo 5
Vamos mudar para coordenadas polares:
Os limites de integração para
vão de
a
(raio do círculo) e para
de
a
.
Passo 6
Agora, vamos integrar:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.
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onde
.
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para
.
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para
.
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, onde
.