Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar uma integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green e, depois, calcular isso tudo. A integral de linha que temos é:
Aqui, é uma curva fechada dada por para , ou seja, o círculo unitário. Pra resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Então, vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha. Na nossa integral, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro da curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Depois, a derivada de em relação a :
Agora, vamos subtrair essas duas derivadas:

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
Como é o círculo unitário, faz sentido usar coordenadas polares pra simplificar. Lembrando que em coordenadas polares, e .

Passo 5

Vamos mudar para coordenadas polares:
Os limites de integração para vão de a (raio do círculo) e para de a .

Passo 6

Agora, vamos integrar:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

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