Calcule o limite lim t 1 r(t) onde r(t)=(t^3-t^2, ln (t+1), e^2 t-2).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função vetorial r(t) quando t se aproxima de 1. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites para funções vetoriais, onde analisamos cada componente separadamente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular limites de funções polinomiais, logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função vetorial: t^3 - t^2. Para encontrar o limite quando t tende a 1, substituímos t por 1.
Calculando:
1^3 - 1^2 = 1 - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: ln(t + 1). O logaritmo natural é uma função contínua, então o limite dela é simplesmente o logaritmo do limite do argumento.
Calculando:
ln(1 + 1) = ln(2)

Passo 4

Por último, a terceira componente é e^2 t - 2. A função exponencial também é contínua, então o limite dela é a exponencial do limite do expoente.
Calculando:
2 times 1 - 2 = 0
Então:
e^0 = 1

Resposta

O limite lim t 1 r(t) é (0, ln(2), 1).

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