Calcule o limite
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial
quando
se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, e vamos precisar analisar cada componente dessa função vetorial individualmente para ver se conseguimos encontrar os limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente:
.
Sabemos que para calcular o limite de uma função polinomial, simplesmente substituímos o valor de
que está se aproximando. Então:
Então, o limite da primeira componente é 0.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Aqui temos uma fração onde o denominador
se aproxima de 0 quando
se aproxima de 2. Precisamos analisar de que lado
está se aproximando de 2:
- Se
se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (direita), é positivo e pequeno, então tende ao . - Se
se aproxima de 2 por valores menores que 2 (esquerda), é negativo e pequeno, então tende ao .
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais (um vai para
e o outro para
), o limite da segunda componente não existe.
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite da terceira componente:
.
Assim como na primeira componente, funções trigonométricas bem definidas têm limites que conseguimos calcular substituindo diretamente:
Portanto, o limite da terceira componente é
, que é um valor real definido.
Resposta
O limite
não existe porque a segunda componente
não possui limite quando
se aproxima de 2.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
. Calcule
.
Seja
. Calcule o laplaciano de
.
Calcule o limite
onde
.
Calcule o limite
para
.