Calcule o limite para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, e vamos precisar analisar cada componente dessa função vetorial individualmente para ver se conseguimos encontrar os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: .
Sabemos que para calcular o limite de uma função polinomial, simplesmente substituímos o valor de que está se aproximando. Então:
Então, o limite da primeira componente é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
Aqui temos uma fração onde o denominador se aproxima de 0 quando se aproxima de 2. Precisamos analisar de que lado está se aproximando de 2:
  • Se se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (direita), é positivo e pequeno, então tende ao .
  • Se se aproxima de 2 por valores menores que 2 (esquerda), é negativo e pequeno, então tende ao .
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais (um vai para e o outro para ), o limite da segunda componente não existe.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente: .
Assim como na primeira componente, funções trigonométricas bem definidas têm limites que conseguimos calcular substituindo diretamente:
Portanto, o limite da terceira componente é , que é um valor real definido.

Resposta

O limite não existe porque a segunda componente não possui limite quando se aproxima de 2.

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Calcule o limite onde .
Calcule o limite para .