Calcule o limite
lim x 0(1x raiz1+x-1x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão quer que a gente calcule o limite quando lim x 0(1x raiz1+x-1x) se aproxima de 0 da seguinte expressão:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de limites e de simplificação de expressões matemáticas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Temos duas frações que estamos subtraindo:
1x raiz1+x - 1x
Para subtrair essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum aqui é .

Passo 3

Vamos reescrever a segunda fração com o denominador comum:
1x raiz1+x - raiz1+xx raiz1+x = 1 - raiz1+xx raiz1+x
Agora, temos uma única fração:
1 - raiz1+xx raiz1+x

Passo 4

Para simplificar o numerador (1 - raiz1+x)(1 + raiz1+x)x raiz1+x(1 + raiz1+x) = 1 - (1+x)x raiz1+x(1 + raiz1+x) , vamos multiplicar e dividir por seu conjugado, que é . Isso ajuda a eliminar a raiz no numerador.
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 5

Simplificando o numerador:
1 - (1+x) = -x
Então, a expressão fica:
-xx raiz1+x(1 + raiz1+x) = -1raiz1+x(1 + raiz1+x)

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite da expressão simplificada quando limx 0 -1raiz1+x(1 + raiz1+x) se aproxima de 0:
-1raiz1+0(1 + raiz1+0) = -11 cdot (1 + 1) = -12
Substituindo por 0:

Resposta

O limite é .

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