Calcule o limite
lim x 2 x^2+3 x-103 x^2-5 x-2

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Precisaremos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^2 + 3 cdot 2 - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim mesmo.
No numerador:
3 cdot 2^2 - 5 cdot 2 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0
No denominador:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador: x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)
Procuramos dois números que multiplicados dêem 3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2) e somados dêem . Esses números são e .
Então:
Denominador:
Vamos fatorar usando o método de agrupamento. Procuramos termos que satisfaçam as condições:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na função original:
(x + 5)(x - 2)(3x + 1)(x - 2)
Percebemos que o termo x + 53x + 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar a expressão, desde que :

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo 2 + 53 cdot 2 + 1 = 77 = 1 :

Resposta

O limite é igual a 1.

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