Calcule o limite
Passo 1
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Precisaremos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim mesmo.
No numerador:
No denominador:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dêem
e somados dêem
. Esses números são
e
.
Então:
Denominador:
Vamos fatorar usando o método de agrupamento. Procuramos termos que satisfaçam as condições:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração na função original:
Percebemos que o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar a expressão, desde que
:
Passo 5
Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Para a função seguinte, construa o gráfico e calcule o que é solicitado
:
;
Use a definição de limite para provar que:
, onde
;
Determinar os seguintes limites com o auxílio das regras de L
Fluxo do rotacional de
Mostre que
tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas
que têm borda
e que induzem a mesma direção positiva em
.