Determinar os seguintes limites com o auxílio das regras de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites no infinito e vamos usar a Regra de L’Hôpital para ajudar. A Regra de L’Hôpital é útil quando temos formas indeterminadas como ou , que é o caso aqui. Vamos precisar derivar funções para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Observamos que , então podemos escrever:
Agora temos uma forma do tipo , que é indeterminada e adequada para usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se ou , então:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então, o limite fica:

Passo 4

Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Agora o limite é:

Passo 5

Mais uma vez, a forma é . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
O limite agora é:

Passo 6

Ainda na mesma situação, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então, o limite fica:

Passo 7

Agora, o denominador cresce muito rápido quando tende ao infinito, então tende a 0.

Resposta

O limite é 0.

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