Determinar os seguintes limites com o auxílio das regras de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites no infinito e vamos usar a Regra de L’Hôpital para ajudar. A Regra de L’Hôpital é útil quando temos formas indeterminadas como ou , que é o caso aqui. Vamos precisar derivar funções para aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Observamos que , então podemos escrever:
Agora temos uma forma do tipo , que é indeterminada e adequada para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se ou , então:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada de é
Derivada de é
Então, o limite fica:
Passo 4
Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
Derivada de é
Derivada de é
Agora o limite é:
Passo 5
Mais uma vez, a forma é . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
Derivada de é
Derivada de é
O limite agora é:
Passo 6
Ainda na mesma situação, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
Derivada de é
Derivada de é
Então, o limite fica:
Passo 7
Agora, o denominador cresce muito rápido quando tende ao infinito, então tende a 0.