Determinar os seguintes limites com o auxílio das regras de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites no infinito e vamos usar a Regra de L’Hôpital para ajudar. A Regra de L’Hôpital é útil quando temos formas indeterminadas como
ou
, que é o caso aqui. Vamos precisar derivar funções para aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Observamos que
, então podemos escrever:
Agora temos uma forma do tipo
, que é indeterminada e adequada para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se
ou
, então:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
é - Derivada de
é
Então, o limite fica:
Passo 4
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
- Derivada de
é - Derivada de
é
Agora o limite é:
Passo 5
Mais uma vez, a forma é
. Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
- Derivada de
é - Derivada de
é
O limite agora é:
Passo 6
Ainda na mesma situação, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
- Derivada de
é - Derivada de
é
Então, o limite fica:
Passo 7
Agora, o denominador
cresce muito rápido quando
tende ao infinito, então
tende a 0.
Resposta
O limite é 0.