Fluxo do rotacional de F Mostre que
integral duplaS nabla times F cdot n d sigma
tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas S que têm borda C e que induzem a mesma direção positiva em C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície . Queremos mostrar que esse fluxo é o mesmo para todas as superfícies que têm a mesma borda e que orientam na mesma direção positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dsigma = ointC F cdot dr
Isso significa que o fluxo do rotacional de através de é igual à integral de linha de ao longo da curva .

Passo 3

Agora, observe que o lado direito da equação, , depende apenas da curva e não da superfície escolhida, desde que todas as superfícies tenham a mesma borda e a orientação positiva.

Passo 4

Como o fluxo do rotacional de através de é igual a essa integral de linha, e essa integral é a mesma para todas as superfícies que têm a borda com a mesma orientação, concluímos que o fluxo também é o mesmo para todas essas superfícies.

Resposta

Portanto, tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas que possuem a mesma borda com a direção positiva de indução.

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