tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas que têm borda e que induzem a mesma direção positiva em .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície . Queremos mostrar que esse fluxo é o mesmo para todas as superfícies que têm a mesma borda e que orientam na mesma direção positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Isso significa que o fluxo do rotacional de através de é igual à integral de linha de ao longo da curva .
Passo 3
Agora, observe que o lado direito da equação, , depende apenas da curva e não da superfície escolhida, desde que todas as superfícies tenham a mesma borda e a orientação positiva.
Passo 4
Como o fluxo do rotacional de através de é igual a essa integral de linha, e essa integral é a mesma para todas as superfícies que têm a borda com a mesma orientação, concluímos que o fluxo também é o mesmo para todas essas superfícies.
Resposta
Portanto, tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas que possuem a mesma borda com a direção positiva de indução.