Fluxo do rotacional de
Mostre que
tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas
que têm borda
e que induzem a mesma direção positiva em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre o fluxo do rotacional de um campo vetorial
através de uma superfície
. Queremos mostrar que esse fluxo é o mesmo para todas as superfícies
que têm a mesma borda
e que orientam
na mesma direção positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Isso significa que o fluxo do rotacional de
através de
é igual à integral de linha de
ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, observe que o lado direito da equação,
, depende apenas da curva
e não da superfície
escolhida, desde que todas as superfícies tenham a mesma borda
e a orientação positiva.
Passo 4
Como o fluxo do rotacional de
através de
é igual a essa integral de linha, e essa integral é a mesma para todas as superfícies que têm a borda
com a mesma orientação, concluímos que o fluxo também é o mesmo para todas essas superfícies.
Resposta
Portanto,
tem o mesmo valor para todas as superfícies
orientadas que possuem a mesma borda
com a direção positiva de indução.